Union Find 알고리즘에 대해 알아보고, Python으로 코드를 작성해보겠습니다.
Disjoint Sets (서로소 집합)
공통 원소가 없는 두 집합으로, 상호 배타 집합, 분리 집합이라고도 합니다.
서로소 집합 자료구조
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조입니다.
연결성을 통해 집합의 형태를 확인할 수 있으며, 두 종류의 연산을 지원합니다.
- Union(합집합): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- Find(찾기): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
따라서 Union Find(합치기 찾기) 자료구조라고도 합니다.
- Union 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드
A,B를 확인A와B의 루트 노드A',B'을 각각 찾음A'을B'의 부모 노드로 설정
- 모든 Union 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복
기본적인 형태의 서로소 집합에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없어 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 합니다.
기본 구현
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# Find: 특정 원소가 속한 집합 탐색
def find(x):
if p[x] != x:
return find(p[x])
return x
# Union: 두 원소가 속한 집합 병합
def union(a, b):
a = find(a)
b = find(b)
if a < b:
p[b] = a
else:
p[a] = b
V, E = map(int, input().split()) # 노드 개수, 간선 개수
p = [i for i in range(V + 1)] # 자기 자신이 부모인 부모 테이블
# Union 연산 각각 수행
for i in range(E):
A, B = map(int, input().split())
union(A, B)
# 각 원소가 속한 집합 출력
for i in range(1, V + 1):
print(find(i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
for i in range(1, V + 1):
print(p[i], end=' ')
Union 연산이 편향되게 이루어지는 경우, Find 함수가 비효율적으로 동작합니다.
최악의 경우, Find 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)이 됩니다.
{1, 2, 3, 4, 5}:Union(4, 5),Union(3, 4),Union(2, 3),Union(1, 2)
경로 압축 구현
Find 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용합니다.
Find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신합니다.
변경 전
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def find(x):
if p[x] != x:
return find(p[x]) # 그냥 부모 찾기
return x # 부모(루트) 리턴
변경 후
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def find(x):
if p[x] != x:
p[x] = find(p[x]) # 부모 테이블 계속 갱신
return p[x] # 갱신된 부모 (루트) 리턴
경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 Find 함수를 호출한 이후, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됩니다.
동일한 예시에 대해, 모든 Union 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 Find 함수를 수행하면 부모 테이블이 갱신되어 시간 복잡도가 개선됩니다.
개선된 구현
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# Find: 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find(x):
if p[x] != x:
p[x] = find(p[x])
return p[x]
# Union: 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union(a, b):
a = find(a)
b = find(b)
if a < b:
p[b] = a
else:
p[a] = b
V, E = map(int, input().split()) # 노드 개수, 간선 개수
p = [i for i in range(V + 1)] # 자기 자신이 부모인 부모 테이블
# Union 연산 각각 수행
for i in range(E):
A, B = map(int, input().split())
union(A, B)
# 각 원소가 속한 집합 출력
for i in range(1, V + 1):
print(find(i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
for i in range(1, V + 1):
print(p[i], end=' ')
서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합을 이용해 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 수 있습니다.
방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 통해 판별합니다.
- 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대해 Union 연산 수행
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것
- 그래프에 포함된 모든 간선에 대해 1번 과정을 반복
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# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find(x):
if p[x] != x:
p[x] = find(p[x])
return p[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union(a, b):
a = find(a)
b = find(b)
if a < b:
p[b] = a
else:
p[a] = b
V, E = map(int, input().split()) # 노드 개수, 간선 개수
p = [i for i in range(V + 1)] # 자기 자신이 부모인 부모 테이블
cycle = False # 사이클 발생 여부
for _ in range(E):
A, B = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find(A) == find(B):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합 연산 수행
else:
union(A, B)
if cycle:
print('사이클 발생')
else:
print('사이클이 발생하지 않음')